PhilosofFine

Евклидово пространство обладает двумя примечательными свойствами: оно изотропно и однородно, т. е. свойства пространства не зависят от направления наблюдения и местоположения точки отсчета, которую можно отождествить, например, с началом координат. Именно допущение того, что пространство изотропно и однородно, выражает факт, что физические наблюдения дают один и тот же результат независимо от того, в какой точке пространства мы проводим эксперимент. Математически это выражается в инвариантности скалярного произведения двух векторов, в частности, нормы вектора от вращения и трансляции системы координат. Введем необходимые обозначения. Здесь и далее, не нарушая общности, будем рассматривать (когда это возможно) случай двумерной евклидовой плоскости.

Пусть a( x, y) - вектор с началом в начале координат, тогда его норма есть сумма квадратов координат:

a = (a, a) = a' = x' + y(1)

Произведем трансляцию начала координат. Это означает, что координаты концов вектора изменятся на постоянные величины, а следовательно, при таком преобразовании его компоненты останутся инвариантными (неизменными). Поэтому и норма вектора останется неизменной. При вращении системы координат на угол a, отсчитываемый от оси абсцисс, координаты изменяются следующим образом:

x = x cos a - y sin a, , . (2) y = x sin a + y cos a.

Легко убедиться, что преобразование (2) оставляет инвариантным норму вектора (1):

(а')2 = (х')2 + (J ')2 = «(3)

Для бесконечно малых векторов, взятых в окрестности начала координат, (3) записывается в виде

(da'f = (dx'f + (dy'f = (dfl)2. (4)

Изотропия и однородность пространства, отраженные в соотношениях (3) и (4), однозначно определяют пространство Евклида. Отметим, что в силу этих особенностей структуры пространства выбор начала отсчета времени t не будет играть решающей роли и не будет влиять на результат, например, наблюдений. Иначе говоря, кроме инвариантности относительно трансляции и вращения пространства необходимо потребовать инвариантность относительно трансляции времени, т. е. инвариантность относительно замены:

t ' = t + a, (5)

где a = const.

Зададимся вопросом, являются ли условия однородности и изотропности необходимыми и достаточными для доказательства евклидовости пространства. Нет, они необходимы, но не достаточны. Существует класс пространств (так называемые пространства постоянной кривизны), которые характеризуются изотропией и однородностью, но являются неевклидовыми. Простейший пример - двумерная сфера. Очевидно, что ее поверхность в каждой точке однородна и изотропна, однако она явно отличается от евклидова пространства - плоскости. Возникает вопрос: как же количественно характеризовать отличие поверхности от евклидовости? Изучением этого вопроса занимается риманова геометрия. Кратко остановимся на ее основных представлениях. Для любой достаточно гладкой поверхности вводится интервал

ds2 = g dx dxn, (6)

где m= 1,2, ., n ; n - размерность пространства; наличие одинаковых индексов означает суммирование по ним; g = g (Xj, .,xn)- компоненты метрического тензора. В частности, для двумерного евклидова пространства (4) метрика характеризуется следующими значениями компонент: g" = g'' = 1, = g" = 0.

Для более полного понимания дальнейших рассуждений необходимо понимать различие между метрическими свойствами пространства в целом и пространства в бесконечно малом: бесконечно малый объем есть следствие операции выделения из пространства бесконечно малого элемента. Дело в том, что любой очень малый элемент гладкой поверхности можно с хорошей точностью представить евклидовым пространством. Напомним школьный пример: аналитическую функцию y = f (x) в малом интервале вблизи точки (x0, y0) можно аппроксимировать линейной функцией y = y0 + f'(x0)(x - x0). Аналогичную аппроксимацию можно