PhilosofFine

привести для неевклидовых пространств; в близкой окрестности любой точки неевклидово пространство почти евклидово, однако это свойство утрачивается при переходе к большим масштабам. Иначе говоря, для неевклидова пространства соответствующим выбором координат можно добиться того, чтобы интервал выражался аналогом метрики (4):

ds2 dx2, (7)

1=1

однако нельзя получить аналог (3) для любых конечных интервалов. Если

выражение для ds может быть во всем пространстве (а не только локально) приведено к виду (7), то пространство евклидово. Инвариантность интервала в форме (7) относительно вращений и трансляций декартовых систем координат однозначно определяет евклидовость пространства, в частности его однородность и изотропность. (Пример двумерной сферы, заданной в полярных координатах, изложен, например, в работе И. Л. Розенталя [Розенталь, 1990. С. 15].)

Замечание 2. Это замечание касается собственно предположения о связи динамики изменения (эволюции) механической системы с геометрией. Так как в определение евклидова пространства не входит время или какие-либо кинематические величины, содержащие время (скорость, ускорение), то необходимо сделать какое-либо предположение, связывающее динамику и геометрию. Таким предположением является постулат о существовании класса избранных (выделенных) систем - инерциальных систем отсчета. По определению, существует по крайней мере одна ИСО - система координат, относительно которой пространство изотропно и однородно. Это допущение тривиально, оно отражает евклидовость пространства. Нетривиальным динамическим допущением является предположение о существовании класса ИСО: все системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью V относительно единственной, постулированной ИСО, также являются ИСО. Нетривиальность, в частности, заключается в следующем: движение ИСО относительно первоначальной системы отсчета выделяет определенное направление, совпадающее с вектором V , тем не менее для новых ИСО свойства изотропии и однородности сохраняются.

С учетом двух указанных замечаний (однородность и изотропность пространства, а также наличие класса ИСО) можно прийти к механике Ньютона, которая является теоретическим воплощением того, о чем говорил Галилей.

Принцип относительности в классической механике Ньютона

Галилей говорит о равномерно движущемся корабле, а Ньютон фактически допускает, что все динамические характеристики системы определяются свойствами евклидовости пространства. Допущение изотропности и однородности физического концептуального пространства является одним из самых сильных допущений, постулированных Ньютоном. Таким образом, очевидно, что уравнения движения (сами физические явления) не должны зависеть от скорости движения системы отсчета (изотропия) и от положения начала координат (однородность). Допущение существования ИСО в сочетании с исключительными свойствами пространства Евклида приводит непосредственно к ньютоновским уравнениям движения [Розенталь, 1990].

Предположение об эквивалентности всех ИСО есть не что иное как принцип относительности Галилея. Равномерное движение ИСО со скоростью V эквивалентно равномерному движению пробного тела со скоростью vp = -V, таким образом мы приходим к первому закону Ньютона, закону инерции, т. е. фактически к необходимости постулирования инвариантности описания нашей системы относительно преобразований Галилея:

vv + V,

(8)

X ® X + Vt.

Отметим, что вывод динамических уравнений, базирующихся исключительно на постулировании физической геометрии, невозможен [Розен-таль, 1990. С. 21]. Нужен некоторый дополнительный физический принцип. Таким принципом является постулат о существовании класса эквивалентных ИСО, фактически это принцип относительности Галилея - утверждение об «одинаковости» законов физики в различных «хороших» системах отсчета. Эквивалентность, о которой сказано выше, распространяется лишь на системы отсчета, движущиеся равномерно относительно друг друга. Такой постулат не следует из геометрии, он является следствием опытных данных, в частности рассуждений Галилея.